电液伺服阀因其具有精度高、响应快、质量轻等优点，在航空发动机中拥有着广泛的应用场合，如燃油计量装置，导叶控制机构以及喷口调节机构^[1-4]。两级电液伺服阀通常采用圆柱形滑阀副作为次级液压功率放大元件。滑阀副由阀芯与阀套组成，两者之间采用间隙配合形式，该配合间隙一般仅为1～3 μm^[5]，易受温度、加工误差以及油液污染的影响，可能造成滑阀径向卡紧力过大，增大滑阀副摩擦力。而滑阀副摩擦力又是引起伺服阀分辨率误差的主要原因^[6-7]。分辨率过大将引起整个液压伺服系统极限环振荡和过大的静态误差。一般要求分辨率不得大于额定电流的1%，较高精度的位置伺服系统更进一步地要求不大于0.5%甚至更小。因此，国内外学者针对滑阀副的径向卡紧力开展了大量的研究工作。

中国航空发动机集团有限公司长春控制科技有限公司的贾涛等^[8]针对滑阀级在宽温域工况下易产生的卡死现象进行了仿真研究，获得了温度变化后阀芯与阀套之间径向配合间隙的变化规律。北京航空航天大学的Zhang等^[9]从理论上分析了滑阀轴向方向上的温度梯度对径向卡紧力的影响规律。滑阀阀芯上普遍开设有均压槽以减小阀芯受到的径向不平衡力，西北工业大学的陈佳等^[10]基于圆柱坐标系下的纳维-斯托克斯（N-S）方程，建立了带有矩形均压槽的阀芯阀套间隙径向压力分布模型。北京理工大学的刘志强等^[11]建立了液压滑阀污染卡紧力模型，研究结果表明，阀芯相对阀套的偏心率对滑阀性能具有显著影响，等间隙下偏心率的增大既导致滑阀泄漏量增大，又增大其污染卡紧力。同济大学的訚耀保等^[12]利用弹性力学和热变形理论，考虑残余应力的影响，推导了滑阀副径向尺寸链的数学表达式，提出了宽温域下滑阀副配合间隙的设计方法。浙江工业大学的刘国文等^[13]建立了2D电液比例换向阀阀芯径向卡紧力与偏心量和高低压孔夹角间的数学模型，提出了减小径向卡紧力的改进措施。西南交通大学的晏静江等^[14]对中高压系统中滑阀的黏性热效应进行了流-固-热耦合分析，得到了液压滑阀的最高流速和最高温度大小和区域的分布情况，以及阀芯和阀套的径向变形量。同济大学的陆亮等^[15]基于缝隙流理论建立了滑阀副径向力模型，研究结果表明，增大阀芯与阀套初始半径间隙或减小小球偏离阀芯轴线的初始偏心量，均可以提高阀芯不卡滞的输出压力阈值。华中科技大学的刘书胤等^[16]研究了压力、温度和阀体壁厚对大通径滑阀副配合间隙的影响，并在满足强度要求、无阀芯卡死的条件下，对其初始配合间隙和阀体壁厚进行了优化设计。浙江工业大学的陆倩倩等^[17]为减小滑阀径向卡紧力提出了一种偏心沉割槽结构。

但是，以上关于滑阀副的理论与仿真研究中，未能直接建立起滑阀副加工工艺参数与滑阀副径向卡紧力的映射关系，难以为滑阀副零件制造装配公差的优化设计提供理论依据。对此，本文首先针对滑阀副径向间隙周向分布计算作出了基本假设与简化，进而建立了由加工装配误差引起的滑阀副径向尺寸参数摄动与径向卡紧力的映射关系，分析了径向尺寸参数摄动作用下的滑阀副径向卡紧力分布特性，探讨了滑阀副径向卡紧力分布特征参数对加工工艺参数的灵敏度，为提高滑阀副径向卡紧力乃至整阀分辨率的一致性提供了理论依据。

1.   滑阀副径向尺寸摄动范围与分布模型

图1示出了典型的三位四通滑阀在径向上的配合形态，阀芯共有3个凸肩，从左到右依次为凸肩1、凸肩2和凸肩3。在图1中，p_s和p_t分别为滑阀副的供油压力和回油压力；p_A和p_B分别为负载口A和B的工作压力；L为阀芯总长，L₀为凸肩2长度，L₁为阀杆长度，L₂为凸肩1、3长度；d_i（i=1～6）为阀芯凸肩在端面处的直径；δ_i（i=1～6）为阀芯与阀套在各凸肩端面处的径向间隙；O₀为阀芯中心；e₀为阀芯偏心距；α_s为阀芯相对阀体倾斜角度。

图  1  三位四通滑阀副在径向方向上的配合形态

Figure  1.  Radial fitting state of a three-position four-way spool valve couple

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理想条件下，滑阀副的阀芯与阀套均具有完美的几何构型与尺寸，阀套公称直径D等于阀芯公称直径d，无径向间隙，如图1（a）所示。因此，阀芯与阀套之间不存在卡紧力。实际情况下，由机械加工制成的阀芯与阀套均存在形状和尺寸误差，导致阀芯与阀套之间存在一定的间隙且阀芯有着一定的锥度。为了保证阀芯在阀套内部运动自如，且泄漏量较小，阀套与阀芯普遍采用间隙配合形式。而在阀套与阀芯间隙配合情况下，阀芯相对阀套又会存在一定的偏心距e₀与倾斜角度α_s，如图1（b）所示。

以上这些由加工装配引起的滑阀副配合状态参数摄动（包括阀芯锥度、偏心距、倾斜角度），将引起阀芯与阀套径向配合间隙的变化，进而改变阀芯径向卡紧力的大小，最终直接影响到滑阀副工作性能的优劣程度。

为简化实际情况下滑阀副径向间隙周向分布的计算求解过程，文献[9-10, 18]作如下假设：

1） 忽略阀套内表面的尺寸与形状误差。

2） 实际阀芯凸肩可近似看作为带有一定锥角的圆台面。

3） 阀芯的形位公差中只考虑圆柱度。

4） 忽略油液污染颗粒引起的间隙变化。

5） 忽略阀芯与阀套的表面粗糙度。

基于以上假设，阀芯与阀套的配合状态可以由任意一组（d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆, e₀, α_s）确定，如图1（b）所示。其中，d₁～d₆确定了阀芯实际形状尺寸，d₁、d₃、d₅分别为凸肩1、2、3的左端面实际直径，d₂、d₄、d₆分别为凸肩1、2、3的右端面实际直径。偏心距e₀和相对倾斜角度α_s则共同构成了阀芯与阀套的配合位姿。

1.1   阀芯直径摄动范围与分布特性

根据加工要求，需保证阀芯与阀套之间的径向配合间隙控制在[δ_r0, δ_r1]区间范围内，对此确定如下关系：

另由阀芯圆柱度为C_s可得

由于机械零件在实际加工过程中往往会受到多种因素如刀具磨损、装夹方式、人为因素等的共同影响，根据统计学的原理，当各种影响因素都是随机产生的情况下，实际阀芯直径d_i近似符合正态分布，即有

式中μ 和σ分别为阀芯直径d_i分布的数学期望和均方差。

根据文献[19]，几何因素误差分布的均方差σ，取决于加工工艺系统的精度，σ与尺寸公差T和工序能力指数C_p有着如下关系：

一般地，工序能力指数C_p为1.00～1.33左右，取1.33^[20]。由阀芯/阀套配合间隙大小在[δ_r0, δ_r1]范围内可得，阀芯直径的上偏差为−2δ_r0，下偏差为−2δ_r1，于是阀芯直径d_i的数学期望μ =d−（δ_r0+δ_r1），尺寸公差T=2（δ_r1−δ_r0）。由式（4）计算得，阀芯直径分布的均方差σ=（δ_r1−δ_r0）/（3C_p）。

1.2   滑阀副径向配合位姿参数摄动范围与分布特性

当阀芯实际尺寸参数确定后，需进一步地确定阀芯/阀套径向配合位姿参数，包括偏心距e₀和相对倾斜角度α_s。由于阀芯与阀套之间属于间隙配合，因此在阀芯与阀套满足实体互不干涉的前提下，阀芯与阀套偏心距e₀和相对倾斜角度α_s取到任意值的概率相同，即e₀和α_s服从均匀分布。

为避免阀芯与阀套实体相互干涉，阀芯与阀套之间的配合间隙需满足以下约束不等式：

式中${[{\delta _i} （{\varphi} ） ]_{{\text{min}}}} = \min \{ {\delta _i} （{\varphi} = 0{\text{°}}） ,{\text{ }}{\delta _i} （{\varphi} = {180{\text{°}} }） \}$。

根据图1（b）中的几何关系可知

2.   径向卡紧力模型

如图1（a）所示，在实际使用过程中，阀芯在凸肩1和3的两端存在有压差，大小分别为p_s-p_l和p_s-p_r，而在凸肩2的两端压力均为回油压力p_t，不存在压差。故而阀芯只在凸肩1和3处受到径向卡紧力。为减小径向卡紧力，一般在凸肩上开设均压槽。均压槽个数影响着阀芯径向卡紧力的总体数值大小。根据文献[18]，当开设1条均压槽的滑阀副径向卡紧力减小到未开设均压槽相应值的40%，而等距离开设3条均压槽则会减小到原来的6%。

现以凸肩1为例，对阀芯在该处所受到的径向卡紧力进行求解计算。实际阀芯在凸肩1处与阀套在径向上的配合形态如图2所示。图中，${\varphi}$为沿周向方向分布角度；l_s1为阀芯密封段1～4的轴向长度，l_s2为阀芯密封段5的轴向长度；e₁为阀芯凸肩1中心O相对阀套轴线的偏心距，${e_1} = {e_0} - {\alpha _{\text{s}}} （L - {L_2}） /2$；l_e1为均压槽1～3的宽度，l_e2为均压槽4的宽度。

图  2  阀套与阀芯凸肩1在径向上的配合形态

Figure  2.  Radial fitting state between the sleeve and spool shoulder 1

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由图2可知，阀芯在进油口处存在着均压槽4，在均压槽4的影响下，阀芯在密封段5处的压力周向近似均匀分布。因此阀芯在凸肩1处的卡紧力仅受密封段1～4处径向间隙分布的影响。根据图2中的几何关系，滑阀副径向间隙沿周向的分布在l截面（δ_l（${\varphi}$））与s截面（δ_s（${\varphi}$））处可分别表示为

式中 ξ为对卡紧力无贡献的凸肩部分长度占总长度之比。

于是，阀芯/阀套在l截面和s截面之间的任意截面l_s处的间隙δ_{l_s}（${\varphi}$）可表示为

式中z为截面沿轴向的坐标值。

由文献[9]可知，滑阀副在任意l_s截面的压力分布${p_{{\text{l}}\_{\text{s}}}} （ {{\varphi} {\text{, }}{\textit{z}}} ）$为

图3示出了凸肩1在两个不同纵向截面（${\varphi}$=${\varphi}$₁和${\varphi}$=${\varphi}$₂）上的间隙压力沿轴向分布。根据伯努利方程可知，阀芯均压槽的开设将增大油液沿阀芯轴向流动的过流截面，使得均压槽1～4内部油液的流速降低，从而引起槽内油液压力相较未开设均压槽的原始值（图3中的虚线部分）增大。不过，均压槽的存在使得均压槽内部油液压力短路，即均压槽内油液液压力在周向上分布均匀。因此，这里可以不考虑阀芯在矩形均压槽处所受到的径向卡紧力。

图  3  凸肩1处间隙压力沿轴向分布示意图

Figure  3.  Schematic diagram of the axial distribution of the pressure within the radial clearance at shoulder 1

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忽略均压槽对阀芯/阀套间隙在其他密封段处的压力分布的影响，则各个密封段处的压力分布依然可以使用式（11）表示，据此可得阀芯在各个密封段处的径向卡紧力${F_{{\text{c}}i}}$（i=1, 2, 3, 4）。采用微元法对滑阀副在密封段处所受的径向卡紧力进行计算求解，如图4所示。利用圆柱坐标表达形式（r, ${\varphi}$, z），原点选在阀芯中心O_{1_2}，则阀芯在微元区域dσ（${\text{d}}{\boldsymbol{\sigma}} = {r_{{\text{sp}}}}{\text{d}}{\textit{z}}{\text{d}}{\varphi}$，r_sp为阀芯公称半径）上所受径向力dF为

图  4  配合面处径向卡紧力计算示意图

Figure  4.  Calculation schematic diagram of the radial clamping force at the fitting surface

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由于阀芯所受的总径向力沿竖直方向，因此将径向力dF向竖直方向投影可得其在竖直方向上的分量dF_v为

因此，密封段i（i=1, 2, 3, 4）所受的径向卡紧力F_ci为

式中z₁～z₂、z₃～z₄、z₅～z₆、z₇～z₈分别为密封段1、密封段2、密封段3、密封段4左右侧面在z方向上的坐标值，由图2可得为

于是，阀芯的凸肩1受到的总卡紧力F_c为

3.   径向卡紧力分布特性与参数敏感度分析

3.1   滑阀副配合状态取样流程

图5示出了滑阀副径向配合状态取样流程，滑阀副径向配合状态参数的确定步骤如下：

图  5  滑阀副径向配合状态取样流程

Figure  5.  Sampling process of the radial fitting state of a spool valve couple

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1） 确定阀芯直径的分布类型与分布参数，d_i服从正态分布，数学期望μ =d−（δ_r0+δ_r1），均方差σ=（δ_r1−δ_r0）/（3C_p）。对d_i（i=1～6）进行抽样，每个d_i抽取k个数据，共有k组d₁～d₆数据。

2） 判断任意一组d₁～d₆是否满足式（1）和式（2）中的约束条件，并保留满足约束条件的d₁～d₆数据。然后，从保留的数据中随机选取出n组数据。

3） 确定阀芯相对阀套偏心距e₀与倾斜角度α_s的分布类型与分布参数，根据前面分析，e₀和α_s均服从均匀分布。对偏心距e₀和倾斜角度α_s进行模拟抽样，抽取样本数目为n。于是，共有n组的（d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆, e₀, α_s）。

4） 判断任意一组（d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆, e₀, α_s）是否满足式（5），并保留满足约束条件的数据。然后，从中随机选取出h组数据。

3.2   分布特性

为分析滑阀副尺寸参数摄动对其性能分布的影响规律，基于选定结构尺寸的滑阀副开展研究，具体尺寸参数如表1所示。选取滑阀副供油压力p_s为2 MPa，该压力值为当前航空发动机燃油计量单元所普遍采用的供油压力。阀芯左端压力p_l和右端压力p_r均确定为0 MPa，介质黏度$\,{\mu _{\text{o}}} = 1.048 \times {10^{ - 3}}{\text{ Pa}} \cdot {\text{s}}$。

表  1  滑阀副基本尺寸参数

Table  1.  Basic dimension parameters of the spool valve couple mm

参数	数值
阀芯公称直径d	11.1
节流口面积梯度Ws	1.02
凸肩1、凸肩3长度L2	5.4
凸肩2长度L0	8.8
阀杆长度L1	12.9
密封段1～4轴向长度ls1	0.6
密封段5轴向长度ls2	0.8
均压槽1～3宽度le1	0.4
均压槽4宽度le2	1.0

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为研究一组给定工艺参数条件下的滑阀副性能分布特性，令δ_r0=1 μm，δ_r1=3 μm，C_s=1 μm。按照图5中的滑阀副径向配合状态参数取样流程，共得到50000组（d₁、d₂、d₃、d₄、d₅、 d₆、e₀、α_s），部分结果如表2所示。将这50000组径向配合状态参数代入式（16）可求得滑阀副的径向卡紧力。计算所得的滑阀副径向卡紧力分布情况如图6所示。滑阀副径向参数摄动作用下的径向卡紧力大小分布情况可以通过Weibull分布加以描述，其累计分布函数可用式（17）表示

表  2  滑阀副径向配合状态参数样本

Table  2.  Samples of the radial fitting state parameters of the spool valve couple

序号	d1/mm	d2/mm	d3/mm	d4/mm	d5/mm	d6/mm	e0/μm	αs/10−6 （°）
1	11.09681	11.09687	11.09671	11.09670	11.09697	11.09675	−1.48574	2.68312
2	11.09642	11.09728	11.09701	11.09673	11.09636	11.09648	−1.48129	−9.93036
3	11.09680	11.09702	11.09696	11.09697	11.09673	11.09659	−1.47020	−8.22832
4	11.09671	11.09682	11.09701	11.09677	11.09692	11.09713	−1.46372	5.82135
5	11.09698	11.09697	11.09674	11.09694	11.09682	11.09691	−1.46177	−3.3419
6	11.09692	11.09695	11.09653	11.09656	11.09706	11.09689	−1.46095	0.29002
7	11.09678	11.09685	11.09686	11.09699	11.09700	11.09685	−1.44841	1.14199
8	11.09681	11.09713	11.09706	11.09653	11.09705	11.09666	−1.43981	−0.98078
9	11.09718	11.09700	11.09696	11.09704	11.09650	11.09662	−1.43122	−3.47929
10	11.09704	11.09663	11.09681	11.09685	11.09708	11.09663	−1.42025	−1.38687
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
50000	11.09623	11.09686	11.09687	11.09687	11.09687	11.09659	1.54406	−0.40651

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图  6  径向卡紧力分布图

Figure  6.  Distribution diagram of the radial clamping force

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式中a>0为形状参数，b>0为比例参数。通过数据拟合得到a=1.158、b=3.460。

服从Weibull分布的径向卡紧力大小的平均值µ _c和方差$\sigma _{\text{c}}^2$分别可用式（18）和式（19）表示

式中Г（x）是伽马（Gamma）函数，其表达式为

式（18）和式（19）确定了Weibull分布的形状参数a、比例参数b与平均值µ _c和方差$\sigma _{\text{c}}^2$之间的函数关系。因此，一旦得到径向卡紧力的平均值µ _c和方差$\sigma _{\text{c}}^2$就可进一步地得到径向卡紧力具体的分布规律。

另外，取P=0.99时对应的径向卡紧力（F_c）_P=0.99为特征值来表征径向卡紧力大小分布区间宽度。

3.3   基于响应面代理模型的参数灵敏度分析

响应面法（response surface method，RSM）最早由数学家Box和Wilson于1951年提出，构造过程应用了统计学和数学相关理论。其构造流程可以归纳为：在给定输入输出的基础上，以数学多项式作为基函数通过最小二乘回归法来得到设计变量和响应间的映射关系，具有很好的可导性和良好的连续性。

本文选用在处理实际工程问题中应用较为广泛的2阶多项式响应面模型，其表达式为

式中Y为响应模型预测值；X为设计变量；n为设计变量X维数；X_i为设计变量X的第i个分量；a₀、a_i、a_ii、a_ij为模型的待定系数。

令X₁=δ_r0，X₂=δ_r1-δ_r0，X₃=C_s，将X₁、X₂、X₃的取值区间均确定为0.5～3 μm。采用拉丁超立方抽样（Latin hypercube sampling, LHS）法在工艺参数X₁、X₂、X₃的取值区间内进行抽样，抽取100组样本数据点，计算滑阀副径向卡紧力的分布特征参数。基于响应面法构建X₁、X₂、X₃与分布特征参数的近似表达式可用式（22）表示。

采用复相关系数法验证了响应面模型的计算精度，μ _c、$\sigma _{\text{c}}^2$、（F_c）_P=0.99的响应面函数的R²值分别为0.979、0.967、0.973，均大于0.95，说明该响应面代理模型与实际模型逼近程度较高，可用于开展后续灵敏度分析。

为了分析滑阀副特性在全局变动范围内对工艺参数的灵敏度，对滑阀副特性进行Sobol全局灵敏度分析。Sobol法是一种基于方差的Monte Carlo法，由俄罗斯学者Sobol在20世纪90年代提出的一种有效的研究输入参数的方差对输出参数方差影响的方法^[21]。

Sobol法的核心思想是将模型Y=f （X）分解为单个参数及参数之间相互结合的函数，即有

式（23）中的每一项都可以通过下列积分得到：

依次类推，即可得到${f_{{{1, 2}},\; \cdots ,p}} （ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_k}} ）$。

Sobol法中用总方差$V =\displaystyle \int {{f^2} （ X ） } {\text{d}}X - f_0^2$来表示所有参数对模型输出的影响程度；用偏方差${V_i} = \displaystyle\int {f_i^2} {\text{d}}{x_i}$来表示单个参数对模型输出的影响程度；用偏方差${V_{{i_1},{\text{ }}{i_2}, \cdots ,{i_s}}} = \displaystyle\int {f_{{i_1},{\text{ }}{i_2}, \cdots, {i_s}}^2} {\text{d}}{x_{{i_1}}} \cdots {\text{d}}{x_{{i_s}}}$来表示参数之间的交互作用对模型输出的影响程度。

Sobol法中用1阶灵敏度S_i表示参数x_i对输出的主要影响，其表达式为

用全局灵敏度$S_i^Q$表示考虑参数之间的交互作用后x_i对模型输出的影响程度，其表达式为

由式（27）和式（28）可知，1阶灵敏度反映的是变量自身对结果的影响，而全局灵敏度不仅反映变量自身对结果的影响，还反映本变量与其他变量交互作用的影响，如果某变量的1阶灵敏度和全局灵敏度相差较大，则该变量与其他变量之间存在交互作用。采用LHS法采集10万个样本点，得到的工艺参数灵敏度分析结果如图7所示。

图  7  径向卡紧力分布特征参数对工艺参数灵敏度

Figure  7.  Sensitivity of the distribution characteristic parameters of radial clamping force to process parameters

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由图7可知，相比滑阀副径向间隙，径向卡紧力的分布特性对圆柱度C_s的变化并不敏感。若要从整体上减小卡紧力大小（即减小均值µ _c），减小径向间隙变动区间宽度比减小径向间隙下限值更为有效；相反，若要提高径向卡紧力大小的一致性（即减小方差$\sigma_{{\rm{c}}}^{2}$和分布区间宽度（F_c）_P=0.99），降低径向间隙下限值比减小径向间隙变动区间宽度效果更为显著。

4.   结　论

针对实际滑阀副径向卡紧力存在不确定性的问题，本文通过理论建模研究，研究了由实际加工装配引起的滑阀副径向尺寸参数摄动作用下的径向卡紧力分布情况，并开展了滑阀副径向卡紧力分布特性对加工工艺参数的全局灵敏度分析，得到了以下研究结论：

1） 根据滑阀副在加工装配过程中实际的工艺参数，建立了滑阀副径向尺寸参数的摄动范围和分布模型。然后，将这些尺寸参数摄动量引入到所建立的滑阀副径向卡紧力模型中，进而基于统计学理论得到了径向尺寸参数摄动下的滑阀副径向卡紧力分布特性，结果表明滑阀副径向卡紧力服从Weibull分布。

2） 基于2阶多项式响应面代理模型建立了工艺参数X_i与滑阀副径向卡紧力分布特征参数的映射关系，采用复相关系数R²检验代理模型的预测精度，结果表明μ _c、$\sigma _{\text{c}}^2$、（F_c）_P=0.99的响应面函数的R²值均大于0.95，表明该响应面代理模型与实际模型逼近程度较高，可用于开展后续灵敏度分析。

3） 基于滑阀副径向卡紧力分布特性的多项式响应面代理模型，利用Sobol法开展了径向卡紧力分布特征参数对工艺参数的全局灵敏度分析，结果表明，受重复约束的影响，阀芯圆柱度相比径向间隙对径向卡紧力影响更小。相比减小径向间隙变动范围，降低径向间隙下限值对提高卡紧力一致性更加有效。而相比降低径向间隙下限值，减小径向间隙变动范围对从整体上减小径向卡紧力更为显著。